所有整体域上代数曲线有理点个数与维数增长的精确界

设$C\subset{\mathbb P}_K^2$是数域$K$上的一条代数曲线，并用$d_K$表示$K$在${\mathbb Q}$上的次数。我们证明了$C$中高度至多为$H$的$K$-有理点的个数由$c d^{2}H^{2d_K/d}(\log H)^\kappa$界定，其中$c,\kappa$是绝对常数。我们还对正特征的整体域以及更高维的簇证明了类似的结果。界中对$d$的二次依赖以及$H$的指数是最优的；新颖之处在于对$d$的二次依赖，这回答了Salberger提出的一个问题。我们推导出了关于整体域的Heath-Brown和Serre维数增长猜想的新结果，这些结果特别地将前两位作者和Novikov从$K={\mathbb Q}$情形得到的结果进行了推广。然而，证明的性质完全不同，用$p$-进行列式方法取代了先前使用的实解析方法。对$d$的最优依赖是通过在处理代数曲线模$p$约化上的高重数点时的一项技术改进实现的。