伪线排列数量的改进下界

我们证明，对于足够大的 $n$，阶数为 $n$ 的非同构伪线排列数量大于 $2^{c\cdot n^2}$，其中常数 $c > 0.2604$，改进了 Dumitrescu 和 Mandal (2020) 此前最好的下界 $c>0.2083$。伪线排列（特别是直线排列）是离散和计算几何中以多种形式出现的重要对象。例如，它们与定向拟阵、排序网络和点构型有着紧密联系。设 $B_n$ 为阶数为 $n$ 的非同构伪线排列数量，令 $b_n := \log_2(B_n)$。估计 $b_n$ 的问题可追溯至 Knuth，他猜想 $b_n \leq 0.5n^2 + o(n^2)$ 并推导出了首个界限 $n^2/6-O(n) \leq b_n \leq 0.7924(n^2+n)$。此后，上界和下界均被多次改进。对于上界，首先被改进为 $b_n < 0.6988n^2$ (Felsner, 1997)，随后对于足够大的 $n$，Felsner 和 Valtr (2011) 将其改进为 $b_n < 0.6571 n^2$。在同一篇论文中，Felsner 和 Valtr 将下界中的常数改进为 $c> 0.1887$，随后 Dumitrescu 和 Mandal 将其改进为 $c>0.2083$。我们的新界限基于一种构造，该构造始于 Dumitrescu 和 Mandal 的某种构造，并将其分解为常数大小的片段。然后我们使用软件计算每个片段对伪线排列总数的贡献。这种方法为构造增加了很大的灵活性，从而为未来的调整和改進提供了许多途径，可能导致下界的进一步收紧。