伪圆排列：三角形与画法

伪圆是球面或平面上的简单闭曲线。伪圆排列的研究由 Grünbaum 发起，他将伪圆排列定义为两两恰好相交于两个交叉点的简单闭曲线集合。Grünbaum 猜想，在 $n$ 个两两相交的伪圆的无二角形排列中，三角形单元的数量 $p_3$ 至少为 $2n-4$。我们给出了推翻该猜想的实例。基于一个具有 $12$ 个伪圆和 $16$ 个三角形的实例，通过递归构造，我们得到了一个满足 $p_3(\mathcal{A})/n \to 16/11 = 1.\overline{45}$ 的族。我们预期下界 $p_3(\mathcal{A}) \geq 4n/3$ 对于无穷多简单排列是紧的。然而，所有 $n$ 个两两相交的圆的无二角形排列可能至少具有 $2n-4$ 个三角形。对于带二角形的两两相交排列，我们得到了 $p_3 \geq 2n/3$ 的下界，并猜想 $p_3 \geq n-1$。关于伪圆两两相交排列中三角形的最大数量，我们证明了 $p_3 \le 2n^2/3 +O(n)$。这本质上是最好的可能结果，因为存在 $n$ 个伪圆的两两相交排列族满足 $p_3/n^2 \to 2/3$。本文包含许多伪圆排列的画法，其中很大一部分画法是由我们的生成算法产生的组合数据自动生成的。在最后一节中，我们描述了绘图算法的一些方面。