$x$-单调曲线交图的计数

平面中的曲线称为$x$-单调的，如果每条垂直线最多与其相交一次。一族曲线称为伪线段，如果每对曲线至多有一个公共点。我们构造了$2^{\Omega(n^{4/3})}$个族，每个族由$n$条带标签的$x$-单调伪线段组成，使得它们的交图互不相同。另一方面，我们证明了此类交图的数量最多为$2^{O(n^{4/3}\log^2n)}$。我们的证明使用了关于大小为$n$的基集上大小为$m$、VC维至多为$d$的集系统数量的一个新上界。如果只计数二分交图，或者更一般地，计数有界色数的交图，则可以得到更好的上界。