稳定匹配最大数量的简单指数级上界

稳定匹配是一个经典的组合问题，自 Gale 和 Shapley 于 1962 年在开创性论文中引入以来，一直受到理论和实证研究的密切关注。在本文中，我们给出了 $f(n)$ 的一个新的上界，$f(n)$ 是包含 $n$ 个男性和 $n$ 个女性的稳定匹配实例所能具有的稳定匹配的最大数量。理解当 $n\to\infty$ 时 $f(n)$ 的渐近行为一直是一个长期未决的开放问题，最早由 Donald Knuth 在 1970 年代提出。迄今为止，最好的下界约为 $2.28^n$，最好的上界为 $2^{n\log n- O(n)}$。在本文中，我们证明对所有 $n$，存在某个通用常数 $c$ 使得 $f(n) \leq c^n$。这与下界在指数底数上一致。我们的证明基于归约到计数一类我们称为“混合”的偏序集族的降集数量。后者可能具有独立的意义。