稳定匹配的失真

我们着手研究稳定匹配中的失真。具体而言，我们旨在设计能够在有限访问代理首选信息的算法下，计算出对某些聚合目标（如社会福利）具有高质量的稳定匹配。我们的第一个结果是一个强烈的不可能性结果：经典的韦伯-沙利文 (Gale-Shapley) 延迟接受 (DA) 算法，以及任何仅依赖代理首选序信息的确定性算法，都具有无界失真。为规克此不可能性，我们考虑使用随机化或对代理首选基数偏好进行少量查询的算法。在前一种情况下，我们证明了一个简单的随机化 DA 算法实现失真为 $2$，且这是所有随机化稳定匹配算法中最优的。对于后一种情况，我们证明仅需每个代理 $1$ 次查询即可实现相同的 $2$ 失真上界，改进此上界需要每个代理 $\Omega(\log n)$ 次查询。我们进一步表明，这一查询上界对任何常数近似都是渐进最优的：对于任意 $\0<\varepsilon$，存在一种算法使用 $O(\log n /\varepsilon^2)$ 次查询，实现失真为 $1+\varepsilon$。此外，在问题实例上自然的结构限制下，我们提供了实现 $(1+\varepsilon)$ 近似所需查询数的改进上界。我们补充了上述主要发现之外的关于当代理偏好独立同分布抽取自给定分布时，稳定匹配算法平均情况性能的理论和实证结果。