通过连接给出的自回避多边形个数的上界

对于 $d \geq 2$ 与偶数 $n \in \mathbb{N}$，令 $p_n = p_n(d)$ 表示 $\mathbb{Z}^d$ 中平移等价意义下长度为 $n$ 的自回避多边形个数。多边形基数呈指数增长，其增长率 $\lim_{n \in 2\mathbb{N}} p_n^{1/n} \in (0,\infty)$ 称为连接常数，记作 $\mu$。Madras [J. Statist. Phys. 78 (1995) no. 3--4, 681--699] 已证明在维数 $d=2$ 时 $p_n \mu^{-n} \leq C n^{-1/2}$。本文我们证明当 $d=2$ 时，对满密度的偶数 $n$ 集合有 $p_n \mu^{-n} \leq n^{-3/2 + o(1)}$。我们还考虑自回避游走的一个特定变体，并论证当 $d \geq 3$ 时，在该变体模型中此归一化多边形基数之对应量在满密度集合上满足 $n^{-2 + d^{-1} + o(1)}$ 的上界。