限定自避行走数目：基于多边形插入的Hammersley-Welsh方法

设$c_n = c_n(d)$表示在欧氏最近邻晶格$\mathbb{Z}^d$上从原点出发的长度为$n$的自避行走的数目。设$\mu = \lim_n c_n^{1/n}$表示$\mathbb{Z}^d$的连接常数。1962年，Hammersley与Welsh [HW62]证明，对每个$d \geq 2$，存在常数$C > 0$使得对所有$n \in \mathbb{N}$有$c_n \leq \exp(C n^{1/2}) \mu^n$。尽管预期$c_n \mu^{-n}$随$n$呈幂律增长，但二维中已知最佳上界仍是指数内$n^{1/2}$的形式。对于给定的平面晶格，自然首先要求的改进是形如$c_n \leq \exp (C n^{1/2 - \epsilon})\mu^n$的界，其中$\mu$表示该晶格的连接常数。我们对两个此类晶格推导了这种形式的界，每种情形均给出显式的$\epsilon > 0$。对于六方晶格$\mathbb{H}$，该界对所有$n \in \mathbb{N}$成立；而对于欧氏晶格$\mathbb{Z}^2$，它对上极限密度为1的$n \in \mathbb{N}$集合成立。还证明了$\mathbb{H}$上$c_n \mu^{-n}$的幂律上界，其依赖于关于该晶格连接常数的非定量断言。