高维格点路径中 2 的幂次

设 $W_d(n)$ 为 $\mathbb{Z}^d$ 中从原点出发并回到原点的 $2n$ 步路径的数量。我们研究该数的素因子分解中 2 的指数，即 $w_d(n) = \nu_2(W_d(n))$。我们证明，对每个 $d$，$w_d(n)$ 与 $n$ 的二进制展开中 1 的个数 $s_2(n)$ 之间存在关系。例如，当 $d$ 为奇数时 $w_d(n) = s_2(n)$，当 $\nu_2(d) = 1$ 时 $w_d(n) = 2s_2(n)$；而当 $\nu_2(d) = 2$ 时 $w_d(n) \ge 3s_2(n)$。当 $\nu_2(d) \ge 3$ 时，规律进一步变化。然而，对每个 $d$，我们给出了 $w_d(n)$ 的最佳类似估计，并描述了所有等号成立时的 $n$。我们发展的方法同样适用于更广泛的问题，因此可能具有独立的研究价值。