平方格点上服从两步规则的行走：全平面、半平面与四分之一平面

我们考虑平方格点 $\mathbb Z^2$ 边上的行走，其服从\emph{两步规则}，即允许（或禁止）给定方向的步之后跟随另一方向的步。我们根据若干准则对这些规则进行分类，并展示这些性质如何影响其生成函数、渐近计数与极限形状，所涉及范围包括全格点与上半平面。对于四分之一平面上的行走，我们仅做了一些初步的尝试。我们提出了模型群的候选定义，类似于正则短步四分之一平面模型的群，并研究了哪些模型具有有限群与无穷群。我们证明了用于求解若干原始模型的轨道和方法可适用于此处部分模型，产生 D-有限解。我们还为所有模型生成了短级数，并在可能时猜测微分或代数方程。在此过程中，我们发现这里存在正则短步模型所未出现的可能性，包括具有代数或 D-有限生成函数但群无穷的情形的模型，以及具有非 D-有限生成函数但群有限的模型。