小步三象限行走及基于其他 M-象限锥的行走枚举
组合数学
2023-12-20 v2 概率论
摘要
我们研究局限于二维锥（例如四分之一平面、四分之三平面或狭缝平面）内的小步行走枚举。在四分之一平面情形中，无权重步集的解已被充分理解，即已精确知晓在哪些情形下生成函数是代数、D-有限或 D-代数的，且所有情形下均有精确积分表达式。我们在更一般的设定下推导了类似结果：对任意正整数 ，我们枚举了从任意点出发、带权步集的 -象限锥上的行走。本工作的主要突破是推导出一个刻画这些行走生成函数的解析函数方程，其类似于现今广泛用于四分之一平面行走的一个方程。在对应于避开一个象限的 情形中，我们给出了带权小步行走的精确积分表达式解，其确定了计数这些行走的生成函数 。此外，对每一走步集与行走起点，我们判定了生成函数 作为 与 的函数是代数、D-有限还是 D-代数的。事实上，我们对任意 -象限锥给出了此类结果，表明该性质对任意奇数 均相同。对偶数 ，我们发现计数这些行走的生成函数在 与 上是 D-有限的，且当且仅当行走起点与锥的边界位于同一轴上时为代数的。
引用
@article{arxiv.2204.06847,
title = {Enumeration of three quadrant walks with small steps and walks on other M-quadrant cones},
author = {Andrew Elvey Price},
journal= {arXiv preprint arXiv:2204.06847},
year = {2023}
}