关于象限内小步游走计数生成函数的D-有限性

过去十五年来，对限制在平面第一象限内的小步游走的计数问题引起了广泛关注。相关的生成函数是关于变量$x,y,t$的三元形式幂级数，其中参数$t$编码游走的长度，而变量$x,y$对应其终点的坐标。这些函数满足一个包含两个催化变量的函数方程。Bousquet-Mélou和Mishna将任何小步游走模型与一条称为核曲线的代数曲线和一个称为游走群的群联系起来。这两个对象在小步游走模型的分类中起着核心作用。在最近的一项工作中，Dreyfus、Elvey Price和Raschel证明了游走群是有限的当且仅当生成函数是$D$-有限的，即它在每个变量$x,y,t$上都满足一个具有多项式系数的线性微分方程。在本文中，我们证明如果游走群是无限的，那么生成函数在域$\mathbb{Q}(x,y,t)$上不满足关于$x,y$或$t$的线性微分方程。Dreyfus、Elvey Price和Raschel的证明基于一些奇点分析。在此，我们提出一种新策略，该策略主要依赖于上述函数方程和代数论证。这一观点也为小步游走模型生成函数的代数性质提供了新的视角，因为它将它们的$D$-有限性与核曲线的某些几何性质更直接地联系起来。