关于限制在第一卦限内的三维格点行走

许多近期论文研究了限制在第一象限内且具有规定步长的二维行走的计数问题。对于步长属于 $\{0, \pm 1\}^2$ 的行走，分类现已完成：其生成函数是 D-有限的，当且仅当与步长集相关联的某个群是有限的。本文探讨了限制在第一卦限内的三维行走的类似问题。首要困难在于其数量：在 $\{0, \pm 1\}^3$ 中存在 11,074,225 个非平凡且不等价的步长集（而在象限情形下仅为 79 个）。我们聚焦于其中步长数不超过六个的 35,548 个步长集。我们对它们应用了一种结合实验与严格证明的方法。在实验方面，我们尝试猜测微分方程，并试图确定相关联的群是否有限。我们发现的最大有限群的阶为 48；更大的群阶数至少为 200，我们认为它们是无限的。在这些情况下未检测到任何微分方程。在严格证明方面，我们应用了三种主要技术来证明 D-有限性。此前应用于象限行走的代数核方法在许多情况下有效。某些更具挑战性的情况被证明具有特殊的 Hadamard 结构，这使我们能够通过降维解决问题。最后，对于两个特殊情况，我们不得不借助计算机代数证明。利用这些技术，我们证明了所有猜测的微分方程。这留下了恰好 19 个非常引人入胜的步长集，其相关联的群是有限的，但生成函数的性质仍不清楚。