基于多元解析组合学的格点游走渐近性

我们考虑具有短步长的二维非负整数格点上游走的计数问题。在同构意义下，有 79 个独特的二维模型需要考虑，该领域先前的工作已使用核方法（kernel method）以及严格的计算机代数方法，证明其中 23 个模型具有 D-有限生成函数。2009 年，Bostan 与 Kauers 使用 Pad\'e-Hermite approximants 猜测了这 23 个生成函数满足的微分方程，并在此过程中猜测了其系数序列的渐近性。本文首次对这些猜测给出了完整的严格验证。我们的技术是使用核方法将 23 个生成函数中的 19 个表示为三元有理函数的对角线，并应用多元解析组合学（analytic combinatorics in several variables）的方法（其余 4 个模型具有代数生成函数，因此可用单变量技术处理）。该方法还揭示了模型的组合性质与其渐近特征（如渐近与多项式增长因子）之间的联系。此外，我们给出了返回 x 轴、y 轴和原点的游走数量的表达，证明了 Bostan、Chyzak、van Hoeij、Kauers 和 Pech 最近提出的渐近猜想。