四面体平面上步数带小步长的生成函数的超几何表达式

我们研究二维平方格子上最近邻步行的问题，即由固定步集定义的$\mathbb{Z}^2$上的步行模型，步集为坐标为0、1或-1的非零向量的子集。我们关注以原点为起点、受约束保持在四分之一平面$\mathbb{N}^2$内的步行枚举，按步数及终点位置计数。Bousquet-M\'elou和Mishna[Contemp. Math.,第1--39页,Amer. Math. Soc.,2010]识别出19种具有可列生成函数的步行模型；Bostan和Kauers[FPSAC 2009,Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc.,第201--215页,2009]通过猜测在这些情况下得到线性微分方程。我们在此给出这些方程确实被相应生成函数满足的第一个证明。作为第一个推论，我们证明所有19个生成函数都可以用与椭圆积分密切相关的高斯超几何函数表示。作为第二个推论，我们显示所有19个生成函数都是超越的，且在其$19 \times 4$个组合意义上的特殊化中只有四个是代数函数。