割平面上的游走

本文第一部分精确枚举了正方形格点上从原点出发、此外避开非正水平半轴的游走。我们称之为“割平面上的游走”。我们按长度及终点坐标对其进行计数。相应的三变量生成函数为 8 次代数函数。而且，对任意点 (i,j)，此类终止于 (i,j) 的游走的长度生成函数也是代数的，次数为 2 或 4，并涉及著名的 Catalan 数。我们的方法基于一个泛函方程的解，该方程通过简单的组合论证建立。它实际上对更一般的模型也适用，其中游走的步集取为满足两个简单条件的 Z^2 的有限子集。相应的生成函数总是代数的。在论文第二部分，我们从枚举结果导出若干概率推论。例如，我们可以精确计算从 (i,j) 出发的普通随机游走首次击中水平半轴于位置 (k,0) 的概率，对任意三元组 (i,j,k) 皆然。这推广了 R. Kenyon 提出的一个问题，该问题正是本文的起点。在割平面上所有 n 步游走中均匀随机选取，我们还计算了它们访问给定点 (k,0) 的概率，以及对该点的平均访问次数。换言之，我们量化了游走的暂态性。最后，我们导出了其终点坐标的显式极限律。