正方形格点上简单行走的卷绕

本文描述了一种方法，用于计数 $\mathbb{Z}^2$ 上起点固定、终点位于某坐标轴上且绕原点卷绕角固定的简单对角行走。该方法将这些行走分解为更小的片段，其生成函数编码于一组交换的希尔伯特空间算符中。随后通过获取这些算符的显式特征值分解（涉及椭圆函数）解决了一般计数问题。通过进一步将行走的中间卷绕角限制于某开区间，该方法可用于计数 $\mathbb{Z}^2$ 中限制于张角为 $\pi/4$ 整数倍的锥体内的各类行走。我们给出了这一主要结果的三个应用。首先，我们找到了此类锥体中起点与终点均在原点的行走的显式生成函数。在张角为 $3\pi/4$ 的锥体这一特例中，这些行走与象限中的Gessel行走直接相关，我们给出了其计数的新证明。接着，我们研究了 $\mathbb{Z}^2$ 上简单随机行走绕其起点邻近一点的卷绕角分布，据此辨识了已知双曲正割律的离散类比以及Jacobi椭圆函数的概率解释。最后，我们将其中一个希尔伯特空间算符的谱与 $\mathbb{Z}^2$ 中绕原点具有固定卷绕数的闭合回路的计数联系起来。