穿越正方形的自避散步

我们研究一类受限制的自避散步 (SAW)，其起点位于原点 (0, 0)，终点位于 $(L, L)$，且完全包含在由方格子 ${\mathbb Z}^2$ 上 $[0, L] \times [0, L]$ 的正方形内。不同散步的数量已知地随 $\lambda^{L^2+o(L^2)}$ 增长。我们估计 $\lambda = 1.744550 \pm 0.000005$，并给出严格的上、下界，$1.628 < \lambda < 1.782$。我们给出长度为 $2L + 2K$ 的 SAW 的精确结果，其中 $K = 0, 1, 2$，并给出 $K = o(L^{1/3})$ 的渐近结果。我们还考虑将权重或 {\em fugacity} $x$ 与每一步散步相关联的模型。这导致一个标准的相变模型。对于 $x < 1/\mu$，平均散步长度为 $L$，而对于 $x > 1/\mu$，平均散步长度为 $L^2$。这里的 $\mu$ 是无限制 SAW 在 ${\mathbb Z}^2$ 中的增长常数。对于 $x = 1/\mu$，我们提供数值证据，但无证明，表明平均散步长度为 $L^{4/3}$。我们还考虑相同的限制下的哈密顿散步。它们已知在相同的 $L \times L$ 格子上以 $\tau^{L^2+o(L^2)}$ 增长。我们给出 $\tau$ 的精确估计以及上、下界，并证明 $\tau < \lambda$。