三维、四维及所有维数下自回避行走的均方位移指数的公式

本文证明了公式 \nu(d) =1（当 d=1）与 \nu(d) = max(1/4 +1/d, 1/2)（当 d > 1）对于 Z^d 中自回避行走（SAW）的均方根位移指数 \nu(d) 成立，从而解决了化学物理中根源已久的一些重大开放猜想（Flory, 1949）。值 \nu(2) =3/4 与 \nu(4) = 1/2 与基于启发式和“数值证据”所相信的相符。或许令人惊讶的是，在三维中并无精确猜想。然而早在 1980 年代，蒙特卡洛模拟就为指数 \nu(3) 产生了若干置信区间。本工作是 Hueter (2001) 的后续，后者证明了 d=2 时的结果并为所有维数中的分析奠定了基础构件。我们考虑 (a) 通过 Z^d 中对称简单随机行走的某些长度为 n 的路径所定义的自我交集点过程，以及 (b) 相对于该点过程在某一“形状”中的“弱自回避锥过程”。过程 (b) 的渐近期望距离可在 n 趋于大时被相当精确地计算，并且，若该点过程具有圆形形状，可证其渐近地等于（精确到误差项）参数为 \beta >0 的弱 SAW 的相应量。由这些结果，一系列距离指数也可立即收集用于 SAW。我们的方法调用了锥中自我交集点过程的 Palm 分布。