正方形与六边形晶格上跨越区域的自回避行走与自回避多边形

我们分析了近期扩展的、关于跨越 $L \times L$ 正方形对角相对顶点的自回避行走（SAW）$C_L(1)$ 数量的级数。已知此类行走的数量按 $\lambda_S^{L^2}$ 增长。基于多位作者提供的额外级数系数以及精炼的分析技术，我们使 $\lambda_S$ 的估计更为精确。我们估计 $\lambda_S = 1.7445498 \pm 0.0000012$。我们还研究了次主导行为，并猜想 $$C_L(1) \sim \lambda_S^{L^2+bL+c}\cdot L^g,$$ 其中 $b=-0.04354 \pm 0.0001,$ $c=0.5624 \pm 0.0005,$ 且 $g=0.000 \pm 0.005$。我们实现了一种非常高效的算法来枚举正方形与六边形晶格上的路径，该算法利用了最小完美哈希函数以及对路径计数的数组进行原地内存更新。利用此算法，我们扩展并分析了跨越正方形晶格的 SAW 以及跨越正方形晶格的自回避多边形（SAP）的级数。已知它们也按 $\lambda_S^{L^2}$ 增长。发现次主导项 $\lambda^b$ 与跨越正方形的 SAW 相同，而指数 $g = 1.75\pm 0.01$（跨越型 SAW）和 $g = -0.500 \pm 0.005$（SAP）。我们还研究了六边形晶格上的类似问题，并生成了多种几何构型的级数。特别地，我们研究了六边形晶格上跨越菱形、三角形和正方形域的 SAW 与 SAP，以及跨越菱形的 SAW。我们估计类似的生长常数 $\lambda_H=1.38724951 \pm 0.00000005$，比正方形晶格的估计更为精确。我们还给出了次主导项的估计。