自回避行走标度极限的级数检验

人们普遍认为，临界温度下自回避行走 (SAWs) 的标度极限具有 (i) 共形不变性，且 (ii) 可由参数 $\kappa = 8/3$ 的 Schramm-Loewner 演化 (SLE) 描述。我们考虑源自矩形中心并在到达边界时终止的自回避行走。我们假设自回避行走的标度极限可由 ${\rm SLE}_\kappa$ 描述，其中 $\kappa$ 值待定。Guttmann 和 Kennedy \cite{GK13} 此前已证明，在标度极限下，自回避行走击中矩形侧边的概率与击中矩形端边的概率之比依赖于 $\kappa$。通过考虑固定长宽比为 2 的矩形以及长宽比为 10 的矩形，我们精确计算了越来越大尺寸矩形的概率。通过将此数据外推至无限大矩形尺寸，我们得到长宽比为 2 的矩形估计值 $\kappa = 2.66664 \pm 0.00007$，以及长宽比为 10 的矩形估计值 $\kappa = 2.66675 \pm 0.00015$。我们还提供了数值证据，支持关于长宽比为 2 的矩形中自回避行走在不同点击中边界的分布猜想。