谨慎自回避游动族

方格上的自回避游动 (SAW) 如果从不朝向已访问过的顶点迈步，则称为谨慎的。谨慎游动与迄今为止已计数的 most 类 SAW 不同之处在于它们可以围绕起点缠绕。其枚举问题最早由 Pr\'ea 于 1997 年提出。他定义了 4 类谨慎游动，其一般性递增，并为每一类写出了递推关系系统。然而，随着类别一般性的增加，这些关系涉及的参数也越来越多。第一类实际上由部分定向游动组成，其生成函数众所周知是有理的。Duchi (2005) 证明了第二类具有代数（二次）生成函数。在此，我们精确求解了第三类，结果发现它要复杂得多：其生成函数既不是代数的，甚至也不是 D-有限的。第四类——一般谨慎游动——是唯一的各向同性类，目前仍未能解决。然而，我们设计了一族三角格上的各向同性谨慎游动，并对其进行了精确计数。同样，证明了其生成函数是非 D-有限的。我们还研究了这些游动类的渐近性质，得出了（略显令人失望的）结论：其端点以正速度远离原点。这一结论得到了我们设计的随机生成过程的视觉确认。