按面积枚举谨慎多边形及其非寻常渐近行为
组合数学
2021-12-20 v2
摘要
谨慎行走是一种特殊的自回避行走，它从不向已被占据的位置迈步，而k侧谨慎行走（k=1,2,3,4）本质上只允许沿k个方向生长。谨慎多边形是返回起点相邻点的谨慎行走。谨慎行走和多边形此前已按长度和周长被枚举（Bousquet-Mélou, Schwerdtfeger; 2010）。我们考虑按面积枚举谨慎多边形。对于3侧变体，我们发现生成函数可以用q-超几何函数表示，并且在主导奇点处存在极点累积。这一表达式揭示了面积为n的多边形数量的非寻常渐近结构，其中临界指数是超越数log₂3，振幅涉及微小振荡。基于数值数据，我们预计4侧多边形也会出现类似现象。渐近分析方法涉及梅林变换技术和奇点分析的原创性结合，这在其他许多渐近枚举问题中具有潜在价值。
引用
@article{arxiv.1011.6195,
title = {The Enumeration of Prudent Polygons by Area and its Unusual Asymptotics},
author = {Nicholas R. Beaton and Philippe Flajolet and Anthony J. Guttmann},
journal= {arXiv preprint arXiv:1011.6195},
year = {2021}
}
备注
The series below eqn. (17) was wrong. The correct series is now given. No other changes