对Bárány关于多面体面数问题的肯定回答

尽管简单多面体与单纯多面体的面向量已有完整刻画，一般多面体的面数仍鲜为人知。约1997年，Bárány提问：对所有凸$d$-多面体$P$及所有$0 \leq k \leq d-1$，是否有$f_k(P) \geq \min\{f_0(P), f_{d-1}(P)\}$。我们肯定地回答了Bárány的问题并证明了一个更强的结论：对所有凸$d$-多面体$P$及所有$0 \leq k \leq d-1$，$$\frac{f_k(P)}{f_0(P)} \geq \frac{1}{2}\biggl[{\lceil \frac{d}{2} \rceil \choose k} + {\lfloor \frac{d}{2} \rfloor \choose k}\biggr], \qquad \frac{f_k(P)}{f_{d-1}(P)} \geq \frac{1}{2}\biggl[{\lceil \frac{d}{2} \rceil \choose d-k-1} + {\lfloor \frac{d}{2} \rfloor \choose d-k-1}\biggr].$$ 前者当且仅当$k=0$或$k=1$且$P$为简单多面体时取等。后者当且仅当$k=d-1$或$k=d-2$且$P$为单纯多面体时取等。