多面体的谱性与平移等分解性

设 $A$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的多面体(不必凸或连通)。若空间 $L^2(A)$ 具有由指数函数构成的正交基,则称 $A$ 是谱的。Kolountzakis 与 Papadimitrakis (2002) 的一个结果表明:若 $A$ 是谱多面体,则 $A$ 上外法向指向给定方向的 $(d-1)$ 维面的总面积,必须等于外法向指向相反方向的那些 $(d-1)$ 维面的总面积。本文将此结果推广到维数介于 $1$ 与 $d-1$ 之间的所有面。作为推论,我们得到任意谱多面体 $A$ 可被剖分为有限个较小的多面体,这些多面体可经平移重排构成一个立方体。