通过二分图 sharpened 的谱半径严格对数凸性条件
谱理论
2013-02-04 v2 组合数学
摘要
Friedland (1981) 表明，对于非负方阵 A，谱半径 r(e^D A) 是实对角矩阵 D 上的对数凸泛函。他指出，对于完全不可分解的 A，当且仅当对于任意 c \in R 有 D_1-D_2 != c I 时，log r(e^D A) 在 D_1, D_2 上是严格凸的。此处表明，完全不可分解性条件可被更弱的条件所替代，即 A 和 A'A 均为不可约，这是最尖锐的可能替代条件。证明了 A 和 A'A 的不可约性等价于 A^2 和 A'A 的不可约性，后者是 Cohen, Friedland, Kato 和 Kelly (1982) 发现的关于谱半径的若干严格不等式的条件。这种“双重不可约性”等价于 A, A^2, A'A 和 AA' 的联合不可约性，或者用组合术语来说，等价于 A 的有向图是强连通的且 A 的简单二分图是连通的。文中还给出了其他辅助结果。
引用
@article{arxiv.1208.1036,
title = {A Sharpened Condition for Strict Log-Convexity of the Spectral Radius via the Bipartite Graph},
author = {Lee Altenberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:1208.1036},
year = {2013}
}
备注
20 pages; v. 2: expanded expositions