简单多面体的面数
组合数学
2016-09-07 v1
摘要
考虑如下问题：给定整数 k<d<n，是否存在一个具有 n 个 d 维简单多面体其 k 维面？我们证明存在数 G(d,k) 和 N(d,k)，使得当 n> N(d,k) 时答案为是当且仅当 n\equiv 0\quad \pmod {G(d,k)}。此外，给出了 G(d,k) 的公式，表明例如当 k≥ \left\lfloor\frac{d+1}{2}\right\rfloor 或 d 与 k 均为偶数时，以及在某些其他情形中 G(d,k)=1（意味着超过 N(d,k) 的所有数都作为某个简单 d-多面体的 k-面数出现）。此前该问题仅对顶点情形（k=0）被研究过，其中 Lee \cite{Le} 证明了 N(d,0) 的存在性（G(d,0)=1 或 2，取决于 d 为偶或奇），而 Prabhu \cite{P2} 证明了 N(d,0) \le cd\sqrt {d}。我们在此证明 Prabhu 常数的真值渐近地为：若 d 为偶则是 c=\sqrt2，若 d 为奇则是 c=1。
引用
@article{arxiv.math/9612218,
title = {The number of faces of a simple polytope},
author = {Anders Björner and Svante Linusson},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9612218},
year = {2016}
}