若干新的Bollobás型不等式

有限集的不相交对的族$\mathcal{P}=\{(A_i,B_i)\mid i\in[m]\}$称为Bollobás系统,如果对每个$i\neq j$有$A_i\cap B_j\neq\emptyset$;称为斜Bollobás系统,如果对每个$i<j$有$A_i\cap B_j\neq\emptyset$。Bollobás证明了对于Bollobás系统,不等式\begin{equation*} \sum_{i=1}^m\binom{|A_i|+|B_i|}{|A_i|}^{-1}\leq 1 \end{equation*}成立。Heged\"{u}s和Frankl将此定理推广到斜Bollobás系统,得到不等式\begin{equation*} \sum_{i=1}^m\binom{|A_i|+|B_i|}{|A_i|}^{-1}\leq 1+n, \end{equation*}前提是$A_i,B_i\subseteq [n]$。在本文中,我们通过概率方法将此不等式改进为\begin{equation*} \sum_{i=1}^m \left((1+|A_i|+|B_i|) \binom{|A_i|+|B_i|}{|A_i|}\right)^{-1} \leq 1 \end{equation*}。我们还将此结果推广到对称和斜情形下的集合划分。