Bogolyubov 定理的双线性版本

Bogolyubov 的一个定理指出，对于 $\mathbb{Z}_N$ 中的每个稠密集 $A$，我们可以在 $A+A-A-A$ 中找到一个大 Bohr 集。在本文中，受 Gowers $U^4$ 范数量化逆定理相关工作的启发，我们在有限域上的向量空间中证明了该结果的一个双线性变体。即，如果我们从一个稠密集 $A \subset \mathbb{F}^n_p \times \mathbb{F}^n_p$ 出发，取 $A$ 的行（相应地列），将每行（相应地每列）替换为它与自身的集合差，重复此过程若干次，我们便在所得集合中获得了 Bohr 集的双线性类比，即从一个 $\mathbb{F}^n_p \times \mathbb{F}^n_p$ 到维数有界的 $\mathbb{F}_p$-向量空间的双仿射映射的零集。Bienvenu 和 Lê 独立证明了几乎相同的结果。