有限逆半群的博赫定理及其与朱莉定理的联系

博赫定理通过傅里叶变换的正性来刻画群上正定函数，具有调和分析中的基本作用。虽然已知某些半群类的博赫型结果，但它们通常不同于群论表述，且不保留相同的简单性和普遍性。在本文中，我们在有限逆半群的收缩代数上，以矩阵值线性映射的层面证明了博赫型定理。通过运用逆半群的内在部分序，正性自然通过莫比乌斯变换映射产生。我们的主要结果表明，莫比乌斯变换映射的正定义性可由原映射关于由逆半群最大子群的不可约单子表示诱导的收缩代数的完整不可约表示族的傅里叶变换的正性来刻画。本文的证明依赖于傅里叶反演公式、Schur 正交关系以及正定图的替代表述，这些在有限逆半群的语境下均被建立。作为一个特例，我们指出对于矩阵单位的逆半群，博赫定理恰好还原为朱莉对完全正映射的表征。