非 lacunary 半群的伯尔 recurrence 与稠密性

整数的子集 R 若满足伯尔 recurrence 条件，即任意旋转在 T^d 上对应 R 的某个非零倍数下返回零附近。我们证明了集合 {k! 2^m 3^n : k,m,n ∈ N} 是伯尔 recurrence 的集合。这是一个关于常数项为零的整数多项式映像的更一般陈述的特例。我们还证明，如果 P 是一个实多项式且至少有一个非常数的无理系数，那么集合 {P(2^m 3^n) : m,n ∈ N} 在 T 中稠密，从而提供了两个著名结果的联合推广，其中一个来自 Furstenberg，另一个来自 Weyl。