类型II薄集集合中积分点的计数：奇点、筛选与分层

考虑一个绝对不可约多项式 $F(Y,X_1,\ldots,X_n) \in \mathbb{Z}[Y,X_1,\ldots,X_n]$，其关于 $Y$ 为一元且是 $Y^m$ 的多项式，其中 $m \geq 1$ 为整数。设 $N(F,B)$ 为满足 $F(y,\mathbf{x})=0$ 对 $y \in\mathbb{Z}$ 可解的 $\mathbf{x} \in [-B,B]^n \cap \mathbb{Z}^n$ 的个数。在 Serre 的术语中，对 $N(F,B)$ 的上界对应于对类型II的仿薄集积分点的计数。此前在此一般意义下，Serre 证明了 $N(F,B) \ll_F B^{n-1/2}(\log B)^{\gamma}$ 其中 $\gamma<1$。当 $m \geq 2$ 时，本新工作在一种不灾难性条件下证明了 $N(F,B) \ll_{n,F,\epsilon} B^{n-1+1/(n+1) + \epsilon}$，该条件包含了 $F(Y,\mathbf{X})$ 真正是 $n+1$ 个变量的多项式，即便在对 $X_1,\ldots,X_n$ 进行任何 $\text{GL}_n(\mathbb{Q})$ 变换后也如此。在 GRH 下，该结果当 $m=1$ 时也成立。我们指出，常规多项式满足相关的不灾难性条件。此外，对于某些类多项式，我们证明了更强的上界 $N(F,B) \ll_{F} B^{n-1}(\log B)^{e(n)}$，可与 Serre 的猜想相媳肖。这些结果的一个关键优势是它们不需要 $F(Y,\mathbf{X})$ 的非奇异性。卡茨-劳蒙 stratification for character sums 在我们发展的筛选方法中起关键作用，这种方法在伴随论文中对 Bonolis、Kowalski 和 Woo 所述的新型统一表述中出现。