一个多项式筛法及 Deligne 型求和

设 $f\in\mathbb{Z}[T]$ 为任意次数 $d>1$ 的多项式，$F\in\mathbb{Z}[X_{0},...,X_{n}]$ 为次数 $e>1$ 的不可约齐次多项式，使得射影超曲面 $V(F)$ 光滑。本文给出如下量的一个界：$$N(f,F,B):=|\{\textbf{x}\in\mathbb{Z}^{n+1}:\max_{0\leq i\leq n}|x_{i}|\leq B,\exists t\in\mathbb{Z}\text{ such that }f(t)=F(\textbf{x})\}|,$$ 为此，我们引入了 Heath-Brown 与 Munshi 幂筛法的一个推广，并推广了 Deligne 与 Katz 关于多变量加性特征与乘性特征估计的两项结果。