可分解型不等式

我们考虑形如 |f(x)| \le m 的丢番图不等式，其中 F(X) \in Z[X] 是一个齐次多项式，可表示为具有复系数的 n 个变量的 d 个齐次线性形式的乘积，且 m\ge 1。若此不等式所有实解的总体积为有限，并且对于每一个在 Q 上定义的 n' 维子空间 S\subseteq R^n，F 限制到 S 上对应的 n' 维体积也为有限，则称该型式是有限型的。我们证明：对上述不等式，对所有 m 其整解 x \in Z^n 的个数为有限，当且仅当型式 F 为有限型。当 F 为有限型时，我们证明整解的个数随着 m\to \infty 的渐近估计由所有实解的总体积给出。这推广了 Mahler 在 n=2 情形下的先前结果。进一步，我们证明了 W. M. Schmidt 的一个猜想，表明对于有限型的 F，整解的个数以上界 c(n,d)m^(n/d) 为界，其中 c(n,d) 是仅依赖于 n 和 d 的可有效计算的常数。