分式次数的丢番图不等式

本文研究分式次数 $\theta$ 的对角丢番图不等式，其中 $\theta >2$ 为实数且非整数。对于不全同号的不全为零的实数 $\lambda_i$，我们记 \begin{equation*} \mathcal F (\textbf{x}) = \lambda_1 x_1^\theta + \cdots + \lambda_s x_s^\theta. \end{equation*} 对于固定的正实数 $\tau$，我们给出边长为 $P$ 的盒内不等式 $| \mathcal F (\textbf{x}) | < \tau$ 的正整数解个数的渐近公式。此外，我们研究用上述形式的定正广义多项式表示大正实数的问题。我们方法中的一个关键结果是对涉及整数分式幂的指数和的本质最优均值估计。