有效求解某些 Thue 丢番图方程族

设 $\alpha$ 为次数 $d\ge 3$ 的代数数，$K$ 为代数数域 $\Q(\alpha)$。当 $\varepsilon$ 是 $K$ 的一个单位且满足 $\Q(\alpha\varepsilon)=K$ 时，考虑满足 $f_\varepsilon(\alpha\varepsilon)=0$ 的不可约多项式 $f_\varepsilon(X) \in \Z[X]$。设 $F_\varepsilon(X,Y)$ 是与 $f_{\varepsilon}(X)$ 关联的次数为 $d$ 的不可约二元型，且满足条件 $F_{\varepsilon}(X,1)=f_{\varepsilon}(X)$。对于每个正整数 $m$，我们要给出丢番图不等式 $|F_\varepsilon(x,y)|\le m$ 的解 $(x,y,\varepsilon)$ 的有效上界。我们通过将自身限制在单位 $\varepsilon$ 的一个子集上来实现这一目标，并证明只要 $K$ 的次数 $\geq 4$，该子集就足够大。