有限生成域上 Diophantine 方程的有效结果

设 A 为任意特征为 0 且在 Z 上有限生成的整环。我们考虑未知数 x,y 取自 A 的 Thue 方程 $F(x,y)=b$，以及未知数取自 A 的超椭圆和超超椭圆方程 $f(x)=by^m$，其中二元型 F 和多项式 f 的系数在 A 中，b 是 A 中的非零元素，m 是至少为 2 的整数。在对 F,f,m 施加必要的有限性条件下，我们根据 A,F,f,b 的适当表示给出了 x,y 大小的显式上界。我们的结果表明，原则上可以有效确定任意有限生成域上 Thue 方程以及超椭圆和超超椭圆方程的解。此外，我们将 Schinzel 和 Tijdeman 的一个定理推广如下：存在一个可有效计算的常数 C，使得若 m>C，则方程 $f(x)=by^m$ 在 A 中无非零且非单位根的 y 的解 (x,y)。在我们的证明中，我们使用了数域和函数域上 Thue 方程及超椭圆和超超椭圆方程的有效结果、一些有效的交换代数以及 specialization 论证。