关于丢番图方程 $An!+Bm!=f(x,y)$

Erdős 与 Obláth 证明了方程 $n!\pm m!=x^p$ 仅有有限多个整数解。更一般地，在 ABC 猜想下，Luca 证明了对于次数 $\geq 3$ 的多项式，$P(x)=An!+Bm!$ 仅有有限多个整数解。对于某些次数 $\geq 2$ 的多项式，该结果无条件成立。我们考虑次数 $\geq 2$ 的不可约齐次多项式 $f(x,y)\in \mathbb{Q}[x,y]$，并证明使得 $An!+Bm!$ 被 $f(x,y)$ 表示的 $n,m$ 仅有有限多个。作为推论，我们得到了 Luca 无条件结果的另证。我们也讨论了某些可约 $f(x,y)$ 的情形。此外，我们研究了形如 $n!!m!!=f(x,y)$ 与 $n!!m!!=f(x)$ 的方程。