关于多项式-阶乘 Diophantine 方程解的有限性

我们研究了令多项式与阶乘函数相等所得到的 Diophantine 方程，并证明了在某些条件下整数解的有限性。例如，我们证明了仅存在有限多个 $l$ 使得 $l!$ 由 $N_A(x)$ 表示，其中 $N_A$ 是由域扩张 $K/\mathbf Q$ 的域范数构造的范数形式。我们还处理了方程 $N_A(x)=l!_S$，其中 $l!_S$ 是 Bhargava 阶乘。在本文中，我们还证明了 Oesterl\'e-Masser 猜想蕴含：对于 $\mathbf Z$ 的任意无限子集 $S$ 以及任意次数为 2 或以上的多项式 $P(x)\in\mathbf Z[x]$，方程 $P(x)=l!_S$ 仅有有限多组解 $(x,l)$。对于 $\mathbf Z$ 的某些特殊无限子集 $S$，我们可以无条件地证明方程 $P(x)=l!_S$ 的解的有限性。