Piatetski-Shapiro 序列上线性丢番图方程解的有限性

形如 $\lfloor n^{\alpha}\rfloor$ $(n=1,2,\ldots)$（其中固定非整数 $\alpha>1$）的整数序列称为 Piatetski-Shapiro 序列，这里 $\lfloor x\rfloor$ 表示 $x$ 的整数部分。令 $\mathrm{PS}(\alpha)$ 记所有这些项之集。本文中，我们证明对几乎所有 $\alpha>3$，$x+y=z$ 在 $(x,y,z)\in \mathrm{PS}(\alpha)^3$ 中仅有有限多解。进而，我们证明对几乎所有 $\alpha>10$，$\mathrm{PS}(\alpha)$ 仅有有限多个长度为 $3$ 的等差数列。此外，我们估计使 $y=a_1x_1+\cdots +a_nx_n$ 在 $\mathrm{PS}(\alpha)$ 上有无穷多解的 $\alpha\in [s,t]$ 之集的 Hausdorff 维数的上界。