解答四项纯指数 Diophantine 方程组的无限数

数论中一个重要且未解的问题是：建立一种通用方法，有效地找到给定至少四项的 $S$-unit 方程组的所有解。尽管文献中已有许多工作致力于此问题，但可以说，所有这些工作都只是在一种自然的区分下求解有限多个方程。在本文中，我们研究由连续基数构成的四项纯指数 Diophantine 方程组的无限多个方程。我们的结果表明，方程 $n^x+(n+1)^y+(n+2)^z=(n+3)^w$ 在正整数 $n,x,y,z,w$ 中且 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 的所有解均为 $(n,x,y,z,w)=(3,3,1,1,2), (3,3,3,3,3)$。该证明使用在三元情形研究中发展出来的初等同余论 argument、Baker 方法在有理数和 $p$-adic 情形下的应用，以及基于巴蒂克(Hajdu)变体 Skolem 共轄 conjecture 所基于的算法。