某些无穷丢番图方程解个数的计数

设 $r, v, n$ 为正整数。本文研究下列无穷丢番图方程 $$n=1^{r}\cdot |k_{1}|^{v}+2^{r}\cdot |k_{2}|^{v}+3^{r}\cdot |k_{3}|^{v}+\ldots,$$ 对于 ${\bf k}=(k_1,k_2,k_3,\dots)\in\mathbb{Z}^{\infty}$ 的解的个数 $s_{r,v}(n)$。对每一 $(r,v)\in\mathbb{N}\times\{1,2\}$，建立了 $s_{r,v}(n)$ 的生成函数与若干渐近公式。