Brocard--Ramanujan 二次方程一般化问题研究

设 $Q_1,...,Q_r\in \mathbb{Z}[x]$ 为具有 $0$ 为根的多项式。设 $f(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]$ 为齐次多项式，其分解形式为 $f(x,y)=f_1(x,y)^{e_1}\cdots f_u(x,y)^{e_u}$，其中 $f_i(x,y)$ 为次数 $d_i\geq 2$ 的不可约齐次多项式。固定一些正整数 $A_1,...,A_r$。我们证明在某些条件下，二次方程 $\prod_{i=1}^rQ_i(A_i^{n_i}n_i!)=f(x,y)$ 有有限多个整数解。