关于四项式的分解及相关丢番图方程

设$A,B,C,D$为有理数且满足$ABC \neq 0$，并设$n_1>n_2>n_3>0$为正整数。我们求解方程$$Ax^{n_1}+Bx^{n_2}+Cx^{n_3}+D = f(g(x)),$$其中$f,g \in \mathbb{Q}[x]$。随后我们利用Bilu-Tichy方法证明方程$$Ax^{n_1}+Bx^{n_2}+Cx^{n_3}+D = Ey^{m_1}+Fy^{m_2}+Gy^{m_3}+H,$$其中$A,B,C,D,E,F,G,H$为有理数且$ABCEFG \neq 0$，$n_1>n_2>n_3>0$，$m_1>m_2>m_3>0$，$\gcd(n_1,n_2,n_3) = \gcd(m_1,m_2,m_3)=1$且$n_1,m_1 \geq 9$的整数解有限性。以及方程$$A_1x^{n_1}+A_2x^{n_2}+\ldots+A_l x^{n_l} + A_{l+1} = Ey^{m_1}+Fy^{m_2}+Gy^{m_3},$$其中$l \geq 4$为固定整数，$A_1,\ldots,A_{l+1},E,F,G$为非零有理数（可能除$A_{l+1}$外），$n_1>n_2>\ldots > n_l>0$，$m_1>m_2>m_3>0$为正整数满足$\gcd(n_1,n_2, \ldots n_l) = \gcd(m_1,m_2,m_3)=1$，且$n_1 \geq 4$，$m_1 \geq 2l(l-1)$的整数解有限性。