一个适用于少乘积集合的 Elekes-Rónyai 定理

给定 $d,n \in \mathbb{N}$，我们称多项式 $F \in \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ 为退化的，若存在 $P\in \mathbb{C}[y_1, \dots, y_{n-1}]$ 以及 $m_j = x_1^{v_{j,1}}\dots x_n^{v_{j,n}}$（其中对每个 $1 \leq j \leq n-1$ 有 $v_{j,1}, \dots, v_{j,n} \in \mathbb{Q}$），使得 $F = P(m_1, \dots, m_{n-1})$。我们的主要结果表明：当 $F$ 非退化时，对任意满足 $|A\cdot A| \leq K|A|$ 的有限集 $A\subseteq \mathbb{C}$，有 $$|F(A, \dots, A)| \gg_{d,n} |A|^n 2^{-O_{d,n}((\log 2K)^{3 + o(1)})}.$$ 该结果在上界 $|F(A,\dots,A)| \leq |A|^n$ 以及如下事实意义下是最优的（差一个 $O_{d,n,K}(1)$ 因子）：对每个退化 $F$ 及满足 $|A\cdot A| \leq K|A|$ 的有限集 $A \subseteq \mathbb{C}$，有 $$|F(A,\dots,A)| \ll K^{O_F(1)}|A|^{n-1}.$$ 我们的技术依赖于多种组合与线性代数论证，并结合 Freiman 型逆定理与 Schmidt 子空间定理。