大特征有限域上的扩张多项式与可定义集的正则性引理

设 $P: \F \times \F \to \F$ 为大特征有限域 $\F$ 上的有界次数多项式。本文确立了如下二分法：要么 $P$ 是中等非对称扩张子，即只要 $A, B \subset \F$ 满足 $|A| |B| \geq C |\F|^{2-1/8}$（其中 $C$ 充分大），就有 $|P(A,B)| \gg |\F|$；要么 $P$ 具有形式 $P(x,y) = Q(F(x)+G(y))$ 或 $P(x,y) = Q(F(x) G(y))$，其中 $Q,F,G$ 为某些多项式。这是对中等扩张（对称或非对称）二元多项式的相当令人满意的分类。我们获得了关于弱扩张（即只要 $|A| \geq C |\F|^{1-1/16}$ 就有 $|P(A,A)| \gg |A|^{1/2} |\F|^{1/2}$）的类似分类，以及关于几乎强非对称扩张（即当 $|A|, |B| \geq |\F|^{1-c}$ 时 $|P(A,B)| = (1-O(|\F|^{-c})) |\F|$，其中 $c>0$ 为某小绝对常数）的部分令人满意的分类。建立这些结果所使用的主要新工具是一个代数正则性引理，它描述了由大特征有限域上的可定义子集生成的稠密图的结构。该引理加强了代数情形下的 Sz\'emeredi 正则性引理，因为后者将图分解为有界数量的分支，其中大多数对某个小但固定的 $\epsilon$ 是 $\eps$-正则的，而前者确保所有分支都是 $O(|\F|^{-1/4})$-正则的。这个引理可能具有独立兴趣，它依赖于关于代数簇的 \'etale 基本群的一些基本事实。