关于正特征函数域上多项式的定义

我们考虑在正特征函数域上定义多项式的问题。除其他结果外，我们证明了以下断言成立。1. 设$\G_p$为$p$元域的代数扩张，并假设$\G_p$不是代数闭域。设$t$在$\G_p$上是超越的，设$K$是$\G_p(t)$的有限扩张。在这种情况下，$\G_p[t]$在$K$上有一个（带参数的）定义，形式为$\forall \exists \ldots \exists P$，其中全称量词的范围内只有一个变量，且$P$是$K$上的多项式。2. 对于任意$q$，对于所有$p \not=q$以及所有上述满足$\G_p$具有$q$次扩张和本原$q$次单位根的函数域$K$，存在一个关于$p$和$K$统一的（带参数的）$\G_p[t]$定义，形式为$\exists \ldots \exists \forall \forall \exists \ldots \exists P$，其中全称量词的范围内只有两个变量，且$P$是$\Z/p$上多项式方程的有限析取和合取集合。此外，对于任何固定大小$m$的$K$的素数有限集合$\calS_K$，存在一个关于$K$和$p$统一的$\calS_K$-整数环定义，形式为$\forall\forall\exists \ldots \exists P$，其中全称量词的范围和$P$如上所述。3. 设$M$是任意常数域$H$上关于单变量$t$的正特征函数域，设$\G_p$是$H$中有限域的代数闭包。假设$\G_p$不是代数闭域。在这种情况下，$\G_p[t]$在$M$上是一阶可定义的。