特征 0 域上的扩张多项式与多项式对

我们通过考虑两变量多项式对 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 同时呈现小对称扩张，开启了不同域上和积型现象的广义研究。我们的首个结果是，$\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{C}$ 上这样的 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 具有非常相似的结构，这是借助半代数几何/o-极小性得到的。随后利用模型论转移与基础伽罗瓦理论，我们推导出了特征 $0$ 与特征 $p$（$p$ 较大时）域上的结果。作为推论，我们得到了 Elekes-Rónyai 型结构结果到任意特征 0 域的推广，以及在自然有意义的对称情形中对这些经典结果的加强。我们注意到大特征有限域中和积问题指数中一个相关的 $5/4$ 下界，尽管此特征下的下界无法由我们的方法算出。