朗道定理的多项式类比及相关问题

最近，Bary-Soroker、Smilansky 和 Wolf 考虑了 $\mathbb{F}_q[T]$ 上朗道两平方和定理的类比。他们计数了 $\mathbb{F}_q[T]$ 中次数为 $n$、形如 $A^2+TB^2$ 的首一多项式的数量，我们记为 $B(n,q)$。他们在两种极限下研究了 $B(n,q)$：固定 $n$ 而 $q$ 大；以及固定 $q$ 而 $n$ 大。我们将他们的结果推广到最一般的极限 $q^n \to \infty$。更精确地，我们证明 \begin{equation*} B(n,q) \sim K_q \cdot \binom{n-\frac{1}{2}}{n} \cdot q^n , \qquad q^n \to \infty, \end{equation*} 其中显式常数 $K_q = 1+O\left(1/q\right)$。我们的方法不同，基于给出生成函数系数的显式界。这些方法也适用于其他与具有偶次素因子的多项式相关的问题。