有限域上多项式环中短区间内的二平方和

Landau定理断言，在区间 $1\leq n\leq x$ 中二平方和的渐近密度为 $K/{\sqrt{\log x}}$，其中 $K$ 为Landau-Ramanujan常数。对于固定的 $\epsilon$ 且 $x\to \infty$，在区间 $|n-x|\leq x^{\epsilon}$ 中渐近密度是否保持不变，这是数论中的一个古老问题。本文在大型有限域的极限下解决了该问题的一个函数域类比。更精确地，考虑次数 $n$ 的首一多项式 $f_0\in \mathbb{F}_q[T]$，并取满足 $1>\epsilon\geq \frac2n$ 的 $\epsilon$。则当 $q\to \infty$ 时，在“区间” ${\rm deg}(f-f_0)\leq \epsilon n$ 内形如 $f=A^2+TB^2$、$A,B\in \mathbb{F}_q[T]$ 的多项式 $f$ 的渐近密度为 $\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}$。如第二作者、Smilanski和Wolf所证，该密度与当 $q\to \infty$ 时此类次数为 $n$ 的首一多项式 $f$ 的渐近密度一致。证明中的一个关键点是对 $f(-T^2)$ 的Galois群的计算，其中 $f$ 是一个具有少量可变系数的 $n$ 次多项式：该Galois群是阶为 $2^nn!$ 的超八面体群。